岳麓书院藏秦简中的《数》

岳麓书院藏秦简中的《数》

——汇集各种实用算法的最早数学著作

　　作者：李洪财（湖南大学岳麓书院副教授）

　　2007年湖南大学岳麓书院从香港收购一批秦简，这批材料从鉴定、入藏、整理到逐渐公布完毕，到现在已经过去15年。在这十几年里，学界通过这批材料在古代法律、政治、经济等许多领域都取得了丰硕的成果，而且很多成果具有开创性，足见这批材料的重要作用。这批材料内容非常丰富，有秦代的历谱、官箴、占梦、数学、法律等文献。其中律令内容占比最大，关注度也最高，实际上其他内容的价值绝不亚于律令，其中《数》的关注度就与这部文献的重要程度极不匹配。

岳麓秦简《数》编联复原图。资料图片

　　《周礼·地官·大司徒》：“三曰六艺：礼、乐、射、御、书、数。”郑玄注：“数，九数之计。”“九数”见于《周礼·地官·保氏》：“养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼、二曰六乐、三曰五射、四曰五御、五曰六书、六曰九数。”郑玄注引郑众云：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。”可知“数”所包含内容覆盖了中国古代政府管理和运作的方方面面。“数”作为六艺之一是中国古代为官的基本技能，也可以说是官方教育体系中的基础必修课。所以数学在中国古代有着重要的地位。过去研究中国早期的数学，主要是靠《九章算术》和《周髀算经》。这两部书是传世文献中最早的数学著作，产生时间一般认为是西汉中后期。岳麓秦简《数》的断代最晚不会晚过秦始皇三十五年（公元前212年），从时代说要比《九章算术》和《周髀算经》早一两百年。通过《九章算术》和《周髀算经》这两部书，可知西汉中后期的数学成就已经很高了。现在根据《数》的研究成果可知，这两部书的很多内容可直接追溯到秦代，也足以说明秦代的数学水平。可以说，《数》刷新了我们对中国早期数学水平的认识，而且对《九章算术》和《周髀算经》两书的形成以及其中一些算题的最终解析方法提供了关键的材料。

　　《数》简册背面自署标题，此“数”也恰可与上揭《周礼》及古注中的“九数”对读理解。《数》全卷共有236个编号，另有18枚残片，共有81例算题，还有19例是单独记录计算方法的简文，内容大致涉及《九章算术》中的方田（求方形田地面积）、粟米（求不同米的等价换算）、衰分（比例分配法）、少广（截少从多法）、商功（求体积法）、盈不足（求适中之法）、勾股等诸章的部分内容。其中的勾股算题是目前我国勾股定理的最早文献记载。所谓“勾股”是指直角三角形中短直角边为“勾”，长直角边为“股”，第三条斜边是“弦”。《周髀算经》中记载周朝的商高提出“勾三股四弦五”理论，也就是我们今天所说的勾股定理。《数》中勾股算题简文说：“□有园材埋地，不知小大，斲之，入材一寸而得平一尺，问材周大几何。即曰：半平得五寸，令相乘也，以深（213/0304）一寸为法，如法得一寸，又以深益之，即材径也。（214/0457）”传世文献《九章算术》“勾股”章第九题记述是：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何。答曰：材径二尺六寸。术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。”两者对比即可知虽然文字措辞有别，但两者主要内容和描述方式基本一致。如果把《数》翻译作今天的话，简文的意思是说，有一个圆形木材埋于地下，不知道大小。从上面砍去一寸，砍削之后的切面长为一尺(10寸)，问木材直径是多少。算法：横切面的一半为5寸，再乘以半平(5寸)，用深的数值1做除数，相除，单位为寸，再加上深的数值1寸，就是木材直径。简文的算法用今天的数学式表示是：5寸×5寸/1寸+1寸=26寸。这只是给出的一个范例算法，并不知道其中的原理。《九章算术》刘徽解释说：“此术以锯道一尺为勾，材径为弦，锯深一寸为股弦差之一半，锯（道）长是半也”，“亦以半增之，如上术，本当半之，今此皆同半差，不复半也”。如果结合刘徽的解释与勾股定理对应来说，砍削之后的切面长，也就是《九章算术》中所说的“锯道”长度是“勾”；木材直径与2倍砍削深度之差是“股”，所求木材直径是“弦”。如果将勾设a、股b、弦c，勾股定理的基本公式是：a2+b2=c2。已知a=10，b=c-2×1，按照勾股定理所得算式就是：102+（c-2×1）2=c2。最后计算得出c等于26寸。（详参肖灿：《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》，中国社会科学出版社2015年，第136页）也就是说《九章算术》的勾股算法现在可以直接溯源到岳麓秦简《数》，同时说明先秦很早就已经发现和运用了勾股定理，其源头应该比《数》的下限年代更早。

　　《数》是一部汇集当时实用计算法式的数学文献抄本，它是目前所见最早的汇集各类实用算法的数学著作。也正因为他源自经济、法律、军事等行业的应用实例，使得这批材料不仅具有数学研究价值，其对古代社会的研究价值也不可小觑。以其中所记载的“营军之术（筑营布阵之术）”（69/0883、70/1836+0800）为例，其简文翻译后意思是说：“构筑营垒，布置军阵之术，首先从全体士卒数去除守卫两门的各1200人，再去除剩余人数的半数。然后除以10。如果每3步置一戟卒的话，就将其卒数扩大3倍；每4步置一戟卒的话，就将其卒数扩大4倍；每5步置一戟卒的话，就将其卒数扩大5倍。假如军队士卒总人数为1万人。问哨位可延及多少里？答案为：3里240步，这是3步置一卒值守的情况。”从简文可以看出，算题是考虑到士卒人数、执戟卒的距离在不同规模的军营布置中存在变化，而且不是所有的士卒都要到周边站岗，所以计算军阵营垒大小时，还考虑了实际站岗人数与总人数的比例。如果没有实践，这些变量因素很难在算题中得到周全体现。所以这道算题应该就是从布置军营的实践中得出的算式，当时在军中可能有专职或兼职官员负责“营军（筑营布阵）”事务，“营军之术”算题主要是提供给这些人学习用的。（肖灿：《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》，中国社会科学出版社2015年，第61页）这也是我们通过《数》对古代社会的一个新认识。当然这类人是否真实存在，究竟属于何官何职，这都需要更多材料进一步佐证。其实《数》中还有很多这类史实，既然《数》的算题来源于实际生活的实例，相信《数》中还有很多这类“新知”有待挖掘，我们也期待更多领域能够通过不同视角关注《数》，关注岳麓书院藏秦简。